Glidande medelvärde process of order 3

1 Institutionen för statistik, Michael Okpara lantbruksuniversitetet, Umudike, Nigeria 2 Institutionen för statistik, Federal University of Technology, Owerri, Nigeria 3 Institutionen för matematiska, datavetenskapliga och fysiska vetenskaper, Federal University, Otueke, Nigeria Upphovsrätt kopia 2015 av författare och vetenskapliga Research Publishing Inc. Detta arbete är licensierat under Creative Commons Attribution International License (CC BY). Mottagen 26 november 2014 accepterad 12 december 2014 publicerad 19 januari 2015 Omvändlighet är en av de önskvärda egenskaperna för att flytta genomsnittliga processer. Denna studie härleddar konsekvenserna av invertibility-villkoret på parametrarna för en glidande medelprocess av order tre. Studien fastställer också intervallet för de tre första autokorrelationskoefficienterna för det rörliga genomsnittsprocessen av order tre i syfte att skilja mellan processen och vilken som helst annan process (linjär eller icke-linjär) med liknande autokorrelationsstruktur. För en inverterbar glidande medelprocess av ordning tre är de erhållna intervallerna, och. Flyttande genomsnittlig orderordning Tre, Karakteristisk ekvation, Invertibility Condition, Autokorrelationskoefficient, Second Derivative Test Flyttande genomsnittliga processer (modeller) utgör en särskild klass av linjära tidsseriemodeller. En rörlig genomsnittlig orderordning (process) är av formen: var är reella konstanter och är en sekvens av oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler med nollmedel och konstant varians. Dessa processer har använts i stor utsträckning för att modellera tidsseriedata från många fält 1 -3. Modellen i (1.1) är alltid stillastående. En förutsättning för användningen av den glidande medelprocessen är således att den är inverterbar. Låt då modellen i (1.1) vara inverterbar om roten av den karakteristiska ekvationen ligger utanför enhetens cirkel. Invertibilitetsförhållandena för den första ordningen och andra ordningens rörliga genomsnittsmodeller har härledts 4 5. Ref. 6 använde en glidande medelprocess av order tre (MA (3) process) i sin simuleringsstudie. Även om högre ordningens rörliga genomsnittsprocesser har använts för att modellera tidsseriedata, har inte mycket sagt sig om egenskaperna hos deras autokorrelationsfunktioner. Denna studie fokuserar på invertibility-villkoret för en MA (3) - process. Överväganden ges också till egenskaperna hos dess autokorrelationskoefficienter av en inverterbar glidande medelprocess av order tre. 2. Konsekvensen av omvändbarhetskonditionen på parametrarna för en MA (3) - process För följande erhålls följande glidande medelvärde för order 3 från (1.1): Den karakteristiska ekvationen som motsvarar (2.1) ges av. Det är viktigt att veta att (2.2) är en kubisk ekvation. Detaljerad information om hur man löser kubiska ekvationer finns bland annat bland andra. Det har varit en vanlig tradition att betrakta karaktären hos en karaktäristisk ekvations rötter medan den bestämmer omvändbarhetstillståndet för en tidsseriemodell 9. Som en kubisk ekvation kan (2.2) ha tre distinkta verkliga rötter, en riktig rot och två komplexa rötter, två riktiga lika rötter eller tre riktiga lika rötter. Naturen av rötterna till (2.2) bestäms med hjälp av diskriminanten 8 Om. (2.2) har följande distinkta rötter 7 där mäts i radianer och. När. (2.2) har endast verklig rot givet av 1 som Övriga rötter är 8 Om. och. då och (2.2) har två lika stora rötter. Rötterna till (2.2) i detta fall är desamma som (2.7), (2.8) och (2.9). För och. (2.2) har tre riktiga lika rötter. Vart och ett av dessa rötter ges av 8 som för (2.1) för att vara inverterbara, förväntas alla rötter av (2.2) ligga utanför enhetens cirkel och. I följande ställe ges invertibilitetsförhållandena för en MA (3) - process under förutsättning att motsvarande karaktäristiska ekvation har tre verkliga lika rötter. Teorem 1. Om den karakteristiska ekvationen har tre verkliga lika rötter, är det rörliga genomsnittsprocessen för order tre omvänd om Om för invertibilitet förväntar vi oss att var och en av de tre verkliga lika rötterna ligger utanför enhetens cirkel. Således löser ojämlikheten. vi erhåller Eftersom var och en av rötterna ligger utanför enhetens cirkel måste absolutvärdet av deras produkt vara större än en. Därmed kompletterar detta beviset. Invertibilitetsregionen hos ett glidande medelvärde av ordning tre med lika rötter av den karakteristiska ekvationen (2.2) är innesluten av triangeln OAB i figur 1. Figur 1. Omvändbarhetsregion av en MA (3) - process när den karakteristiska ekvationen har tre verkliga lika rötter. 3. Identifiering av rörlig genomsnittsprocess Modellidentifikation är en viktig aspekt av tidsserieanalysen. En allmän praxis är att undersöka strukturerna för autokorrelationsfunktionen (ACF) och partiell autokorrelationsfunktion (PACF) för en given tidsserie. I detta avseende sägs en tidsserie följa ett rörligt genomsnittligt orderförfarande om dess associerade autokorrelationsfunktion avskuras efter fördröjning och den motsvarande partiella autokorrelationsfunktionen förlorar exponentiellt 10. Författare som använder denna metod tror att varje process har unik ACF-representation. Förekomsten av liknande autokorrelationsstrukturer mellan rörlig medelprocess och ren diagonal bilinär tidsserieprocess av samma ordning gör det emellertid svårt att identifiera en glidande medelprocess baserad på mönstret av dess ACF. Vidare kan en noggrann titt på autokorrelationsfunktionen på kvadraten i en tidsserie hjälpa till att avgöra om serien följer en glidande medelprocess. Om serien kan genereras med en glidande genomsnittsprocess följer dess kvadrat en genomsnittsprocess av samma ordning 11 12. Villkoren för vilka vi använder autokorrelationsfunktionen för att skilja mellan processer som uppträder som rörliga genomsnittsprocesser i ordning ett och två har bestämts av 13 14 respektive. Dessa villkor definieras alla i termer av de extrema värdena för processernas autokorrelationskoefficienter. 4. Intervall för autokorrelationskoefficienter för en rörlig genomsnittlig orderordning Tre Som anges i avsnitt 3 kan kunskap om extrema värden på autokorrelationskoefficienten för en rörlig genomsnittsprocess av en viss ordning möjliggöra för oss att säkerställa korrekt identifiering av processen. Det har observerats att för en glidande genomsnittlig orderordning en, 15 medan för en glidande medelprocess av ordning två och 5. För att generalisera om intervallet av värden för ett glidande genomsnittligt orderförfarande. det är värt att bestämma intervallvärdena för en glidande genomsnittsprocess av order tre. Modellen i (2.1) har följande autokorrelationsfunktion 10: Vi kan härleda från (4.1) att autokorrelationsfunktionen vid lag en av MA (3) - processen är att använda den vetenskapliga noteboken, att minimi - och maximivärdena hittas var och respektive. För autokorrelationsfunktionen vid lag två har vi De extrema värdena som erhålls lika med hjälp av Scientific Note Book. För detta ändamål har ett lägsta värde på 0,5 och ett maximalt värde på 0,5. Från (4.1) erhåller vi Baserat på resultatet erhållet från Scientific Notebook, har ett lägsta värde på 0,5 och ett maximalt värde på 0,5. Intervallerna för kan emellertid enkelt erhållas analytiskt och detta resultat generaliseras i teorem 2 för MA-processen. De partiella derivaten av med avseende på. och är De kritiska punkterna uppstår när. Att jämföra var och en av de partiella derivaten i (4.5), (4.6) och (4.7) till noll erhåller vi2.1 Moving Average Models (MA modeller) Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller rörliga genomsnittsvillkor. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln x t är ett fördröjt värde av x t. Till exempel är en lag 1-autoregressiv term x t-1 (multiplicerad med en koefficient). Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel (multiplicerat med en koefficient). Låt (wt overset N (0, sigma2w)), vilket betyder att wt är identiskt oberoende fördelat, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den första ordningens rörliga genomsnittsmodell, betecknad med MA (1) är (xt mu wt theta1w) Den andra ordens rörliga genomsnittsmodellen, betecknad med MA (2) är (xt mu wt theta1w theta2w) , betecknad med MA (q) är (xt mu wt theta1w theta2w punkter thetaqw) Not. Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta ändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och (unsquared) termer i formler för ACF och variationer. Du måste kontrollera din programvara för att kontrollera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt beräkna den beräknade modellen. R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. Teoretiska egenskaper hos en tidsserie med en MA (1) modell Observera att det enda nonzero-värdet i teoretisk ACF är för lag 1. Alla andra autokorrelationer är 0. Således är ett prov ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA (1) modell. För intresserade studenter är bevis på dessa egenskaper en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA (1) modell är x t10 w t .7 w t-1. var (överskridande N (0,1)). Således är koefficienten 1 0,7. Den teoretiska ACF ges av En plot av denna ACF följer. Den visade ploten är den teoretiska ACF för en MA (1) med 1 0,7. I praktiken ger ett prov vanligen vanligtvis ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 provvärden med hjälp av modellen x t 10 w t .7 w t-1 där vikt N (0,1). För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer. Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1. Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA (1), vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 . Ett annat prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda funktioner. Terapeutiska egenskaper för en tidsreaktion med en MA (2) modell För MA (2) modellen är teoretiska egenskaper följande: Observera att de enda nonzero-värdena i teoretisk ACF är för lags 1 och 2. Autokorrelationer för högre lags är 0 . En ACF med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA (2) modell. iid N (0,1). Koefficienterna är 1 0,5 och 2 0,3. Eftersom det här är en MA (2), kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast på lags 1 och 2. Värdena för de två icke-oberoende autokorrelationerna är A-plot av den teoretiska ACF följer. Såsom nästan alltid är fallet kommer provdata inte att verka så perfekt som teori. Vi simulerade n 150 provvärden för modellen x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. var vet N (0,1). Tidsserierna av data följer. Som med tidsserien för MA (1) provdata kan du inte berätta mycket för det. Provet ACF för den simulerade data följer. Mönstret är typiskt för situationer där en MA (2) modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke signifikanta värden för andra lags. Observera att provet ACF på grund av provtagningsfel inte exakt matchade det teoretiska mönstret. ACF för General MA (q) Modeller En egenskap hos MA (q) modeller är generellt att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q-lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags gt q. Icke-unikhet av koppling mellan värden på 1 och (rho1) i MA (1) Modell. I MA (1) modellen, för något värde av 1. den ömsesidiga 1 1 ger samma värde. Använd exempelvis 0,5 för 1. och använd sedan 1 (0,5) 2 för 1. Du får (rho1) 0,4 i båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk restriktion kallad invertibility. vi begränsar MA (1) - modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1. I exemplet just givet är 1 0,5 ett tillåtet parametervärde, medan 1 10,5 2 inte kommer att. Omvändbarhet av MA-modeller En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom att konvergera menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Omvändbarhet är en begränsning programmerad i tidsserieprogramvara som används för att uppskatta koefficienterna för modeller med MA-termer. Det är inte något vi söker efter i dataanalysen. Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA (1) - modeller ges i bilagan. Avancerad teorinotation. För en MA (q) modell med en specificerad ACF finns det bara en inverterbar modell. Det nödvändiga villkoret för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y-. - q y q 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R-kod för exemplen I exempel 1 ritade vi den teoretiska ACF av modellen x t10 wt. 7w t-1. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provets tidsserie och provet ACF för de simulerade data. R-kommandon som användes för att plotta den teoretiska ACF var: acfma1ARMAacf (mac (0.7), lag. max10) 10 lags av ACF för MA (1) med theta1 0,7 lags0: 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10. plot (lags, acfma1, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (1) med theta1 0,7) abline (h0) adderar en horisontell axel till plottet Det första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt namnet acfma1 (vårt val av namn). Plot-kommandot (det tredje kommandot) plottar jämfört med ACF-värdena för lags 1 till 10. ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern lägger en titel på plotten. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. xcarima. sim (n150, lista (mac (0.7))) Simulerar n 150 värden från MA (1) xxc10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10. Simulering standardvärden betyder 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) acf (x, xlimc (1,10), mainACF för simulerad provdata) I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt5 w t-1, 3 w t-2. och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och plottade provets tidsserie och provet ACF för de simulerade data. De R-kommandon som användes var acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (lags, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typh, huvud ACF för MA (2) med theta1 0,5, theta20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, lista (mac (0,5, 0,3)) xxc10 plot (x, typeb, huvudsimulerad MA (2) serie) acf (x, xlimc (1,10) mainACF för simulerade MA (2) data) Bilaga: Bevis på egenskaper hos MA (1) För intresserade studenter, här är bevis för teoretiska egenskaper hos MA (1) modellen. Varians: (text (xt) text (mu wt theta1 w) 0 text (wt) text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) När h 1, föregående uttryck 1 w 2. För varje h 2, föregående uttryck 0 . Orsaken är att, per definition av vägtons oberoende. E (w k w j) 0 för någon k j. Vidare, eftersom w t har medelvärdet 0, E (w jw j) E (wj 2) w 2. För en tidsserie, Applicera detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Visa väl omvändbarhet för MA (1) modellen. Vi ersätter sedan förhållandet (2) för w t-1 i ekvation (1) (3) (zt wt theta1 (z-tetww) wt theta1z-tetanw) Vid tid t-2. ekvationen (2) blir Vi ersätter sedan förhållandet (4) för w t-2 i ekvation (3) (zt wt theta1z-teteta21wt theta1z-teteta21 (z-tetww) wt theta1z-teteta12z theta31w) Om vi ​​skulle fortsätta oändligt) skulle vi få oändlig ordning AR-modellen (zt wt theta1z-theta21z theta31z-tetta41z punkter) Observera dock att om koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar (oändligt) i storlek när vi flyttar tillbaka i tid. För att förhindra detta behöver vi 1 lt1. Detta är förutsättningen för en inverterbar MA (1) modell. Oändlig ordning MA-modell I vecka 3 ser du att en AR (1) - modell kan konverteras till en oändlig ordning MA-modell: (xt - mu wt phi1w phi21w prickar phik1 w dots sum phij1w) Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som orsakssammanställning av en AR (1). Med andra ord är x t en special typ av MA med ett oändligt antal termer som går tillbaka i tiden. Detta kallas en oändlig ordning MA eller MA (). En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Minns i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR (1) är att 1 lt1. Låt beräkna Var (x t) med hjälp av kausalrepresentationen. Det här sista steget använder ett grundläggande faktum om geometriska serier som kräver (phi1lt1) annars skiljer serien. NavigationMoving Average - MA BREAKING DOWN Flytta genomsnittet - MA Som ett SMA-exempel, överväga en säkerhet med följande stängningskurser över 15 dagar: Vecka 1 (5 dagar) 20, 22, 24, 25, 23 Vecka 2 (5 dagar) 26, 28, 26, 29, 27 Vecka 3 (5 dagar) 28, 30, 27, 29, 28 En 10-dagars MA skulle medeltala slutkurserna för de första 10 dagarna som första datapunkt. Nästa datapunkt skulle släppa det tidigaste priset, lägga till priset på dag 11 och ta medeltalet, och så vidare som visas nedan. Som tidigare noterat lagrar MAs nuvarande prisåtgärd eftersom de är baserade på tidigare priser, ju längre tidsperioden för MA, desto större är fördröjningen. Således kommer en 200-dagars MA att ha en mycket större grad av fördröjning än en 20-dagars MA eftersom den innehåller priser för de senaste 200 dagarna. Längden på MA som ska användas beror på handelsmålen, med kortare MAs som används för kortfristig handel och långsiktiga MAs mer lämpade för långsiktiga investerare. 200-dagars MA följs i stor utsträckning av investerare och handlare, med raster över och under detta glidande medel anses vara viktiga handelssignaler. MAs ger också viktiga handelssignaler på egen hand eller när två genomsnitt övergår. En stigande MA indikerar att säkerheten är i en uptrend. medan en minskande MA indikerar att den ligger i en nedåtgående trend. På samma sätt bekräftas uppåtgående momentum med en haussead crossover. som uppstår när en kortsiktig MA passerar över en längre tid MA. Nedåtgående momentum bekräftas med en bearish crossover, som uppstår när en kortsiktig MA passerar under en längre termisk MA.